第115章 牛环(1/2)
情形二，
存在Rn中的非零向量α不是A的特征向量，则α，Aα线性无关，因而存在可逆实方阵
Q= (α,Aα,*,…,*)满足AQ关于0，B为右对角，*为左对角的二阶矩阵.
其中B为n-1阶实方阵.
由tr(A)= 0，得tr(B)=0.
然后由归纳假设，存在可逆实方阵R，使得R^(-1)BR的对角元素都是0.
令 P = Q diag(1,R)，则P^(-1)AP的对角元素都是0.引理获证.
现在对于任意n阶实方阵A,令A0=tr(A)I/n ,则tr(A-A0)=0.
根据引理可知,存在可逆实方阵P，使得B= P^(-1)(A- A0)P的对角元素都是0.
设B=L+U,L,U 分别是严格下、上三角方阵，则 L,U 都是幂零方阵.
于是A = A +PBP^(-1)= A0+A1+A2,
其中A0是纯量方阵，A1= PLP^(-1)和A2= PUP^(-1) 都是幂零方阵.
由此得证.
...
做到后面几题，宋挽才隐隐感觉到决赛卷的难度，和初赛卷比确实难了不少。
嗯，确实不一样的感觉。
做题关键就是要理清思路，通常题就是看上去复杂，实际上并不难。
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